Михаил родился 16 октября в селе Хандагатай Тарбагатайского района Бурятии.
Воспитывался в реабилитационном центре в городе Кусе Челябинской области, затем окончил профессиональный лицей № 7 в Улан-Удэ, где выучился на оператора ЭВМ. После этого поступил на факультет наследия и информационных технологий Восточно-Сибирского государственного института культуры.
Спортом начал заниматься с тенниса и плавания. В настольном теннисе Михаил стал чемпионом России среди юниоров. После этого всерьёз занялся триатлоном.
В 2019 году Асташов завоевал золото Кубка мира по паратриатлону на чемпионате в Турции.
В 2020 году в Австралии завоевал бронзу в паратриатлоне. В том же году на чемпионате России по велоспорту стал победителем на дистанции 1 км и в гонке преследования на 3 км.
На Паралимпиаду 2016 года не смог попасть из-за санкции в отношении Паралимпийского комитета России.
На Паралимпийских играх 2020 в Токио Михаил Асташов стал чемпионом игр в дисциплине «Гонка преследования на дистанции 3000 метров среди спортсменов с нарушением опорно-двигательного аппарата». При этом в предварительных заездах он установил новый мировой рекорд.
31 августа Михаил выиграл вторую золотую медаль в шоссейной гонке с раздельным стартом и стал двукратным чемпионом Игр.
8 сентября 2021 года приказом министерства спорта Российской Федерации Михаилу Асташову присвоено звание «Заслуженный мастер спорта России».
13 сентября 2021 года был награжден президентом Российской Федерации Владимиром Путиным орденом Дружбы.
